非旋转Treap及可持久化[Merge,Split]

简介

Treap，一种表现优异的BST

优势

其较于AVL、红黑树实现简单，浅显易懂
较于Splay常数小，通常用于树套BST表现远远优于Splay
或许有人想说SBT，SBT我没有实现过，据说比较快
但是SBT、Splay以及旋转版Treap等BST都不可以比较方便地实现‘可持久化操作’

注

Treap另有旋转版Treap
本文主要介绍非旋转版Treap

介绍

Treap=Tree+Heap
Treap是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树
Treap有两个关键字，在这里定义为：

• key，满足二叉搜索树性质，即中序遍历按照key值有序
• fix，满足堆性质，即对于任何一颗以x为根的子树，x的fix值为该子树的最值，方便后文叙述，定义为最小值

为了满足期望，fix值是一个随机的权值，用来保证树高期望为 $\log n$
剩下的key值则是用来维护我们想要维护的一个权值，此为一个二叉搜索树的基本要素

支持操作

基本操作

• Build【构造Treap】$O(n)$
• Merge【合并】$O(\log n)$
• Split【拆分】$O(\log n)$
• Newnode【新建节点】$O(1)$

可支持操作

• Insert【Newnode+Merge】$O(\log n)$
• Delete【Split+Split+Merge】$O(\log n)$
• Find_kth【Split+Split】$O(\log n)$
• Query【Split+Split】$O(\log n)$
• Cover【Split+Split+Merge】$O(\log n)$
• and more….

操作分析

PS:如果没有看懂可以在最后看看我的代码

Build

让我们先来看看笛卡尔树，笛卡尔树同样是一颗同时拥有二叉搜索树和堆性质的一颗二叉树
笛卡尔树构造是和Treap完全一样的，如果key值是有序的，那么笛卡尔树的构造是线性的，所以我们只要把Treap当作一颗笛卡尔树构造就可以了
简要讲讲笛卡尔树：

笛卡尔树构造时用栈维护了整棵树最右的一条链，每次在右下角处加入一个元素然后维护笛卡尔树的性质

图中，1、3、4、6、8、9为栈中元素，此时笛卡尔树满足所有性质，即在栈中元素fix值从1开始递增，假设此时我们在9的右儿子添加了一个13，若13的fix值小于栈顶元素9的fix，那么就开始退栈，停止退栈的条件有两个，满足任意一个即停止：

• 当前栈顶元素fix<13的fix【前面已经约定fix小的在上】
• 栈为空

若13的fix>3的fix并且<4的fix，那么上图会变为：

由于对于每个元素只会退栈一次，所以复杂度是$O(n)$

Merge

对于两个相对有序的Treap【若中序遍历为递增，即TreapA的最右下角也就是最大值小于TreapB的最左下角也就是最小值】，那么Merge的复杂度是$O(\log n)$的；
对于两个相对无序的Treap，那么Merge只能启发式合并了。
那么Merge是如何操作的？
我们可以先来看看斜堆的Merge操作.
非常好理解，斜堆的Merge是一个递归操作：

• 若当前要Merge(A,B)，若A的val<B的val，交换A,B指针；
• 然后A的右子树=Merge(A的右子树,B)；

最后交换一下A的左右子树满足插入期望。(PS：读者可以思考一下为什么)
Treap的Merge也同理，只是需要注意满足中序遍历，因此不能交换左右子树，需要自行特判，代码也很简洁

Split

对于一个Treap，我们需要把它按照第K位拆分，那应该怎么做呢？
就像在寻找第K位一样走下去，一边走一边拆树，每次返回的时候拼接就可以了
由于树高是$\log n$的，所以复杂度当然也是$\log n$的
这样Treap有了Split和Merge操作，我们可以做到提取区间，也因此可以区间覆盖，也可以区间求和等等
除此之外因为没有了旋转操作，我们还可以进行可持久化，这个下文会讲到

Newnode

这个就不说了

可支持操作

一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成：
Build可以用来$O(n)$构树还可以在替罪羊树套Treap暴力重构的时候降低一个$\log$的复杂度
Merge和Split可用提取区间，因此可以操作一系列区间操作
Newnode单独拿出来很必要，这样在可持久化的时候会很轻松

可持久化

可持久化是对数据结构的一种操作，即保留历史信息，使得在后面可以调用之前的历史版本
对于可持久化，我们可以先来看看主席树（可持久化线段树的一种）是怎么可持久化的：

• 由于只有父亲指向儿子的关系，所以我们可以在线段树进入修改的时候把沿途所有节点都copy一遍
• 然后把需要修改的指向儿子的指针修改一遍就好了，因为每次都是在原途上覆盖，不会修改前一次的信息
• 由于每次只会copy一条路径，而我们知道线段树的树高是$\log$的，所以时空复杂度都是$n\log n$

我们来看看旋转的Treap，现在应该知道为什么不能可持久化了吧？
如果带旋转，那么就会破环原有的父子关系，破环原有的路径和树形态，这是可持久化无法接受的
如果把Treap变为非旋转的，那么我们可以发现只要可以可持久化Merge和Split就可一完成可持久化
因为上文说到了‘一切可支持操作都可以通过以上四个基本操作完成’，而Build操作只用于建造无需理会，Newnode就是用来可持久化的工具
我们来观察一下Merge和Split，我们会发现它们都是由上而下的操作！
因此我们完全可以参考线段树的可持久化对它进行可持久化
每次需要修改一个节点，就Newnode出来继续做就可以了

其他的问题

Q：Treap需不需要记录father指针？

A：看上去如果要可持久化的话是不能要的，但是我们知道不记录father指针会丧失一些BST的功能，如：

• 询问一个节点是第几大。

  即所有自下而上的操作都不能实现。
  那我们是否可以考虑加上father节点又能实现可持久化？答案是可以的！
  主席给了我一种方法：

• 对每一个节点建立一个有序表，记录每次修改的版本信息，当儿子走向父亲的时候就可以在父亲的表中找到需要的信息，对于有序表的实现，我们可以在全局开一个hash表存储，这样复杂度依然是期望$\log n$的。

  但是有个问题，我们必须要知道father节点恰好的修改时间，而我们往往不知道，往往需要寻找的是第K次修改之前的节点，怎么办呢？
  还是可以的，我们可以牺牲一个$\log$的复杂度在每个节点上建立一个线段树查询前驱。
  然而我们还可以猎奇一点，现在我们的任务是：找到父亲的表中的第K次修改之前的节点，即寻找前驱。

• 寻找前驱。

  因此我们可以在理论上做到 $\log n \log(\log n)$ ，没错就是van Emde Boas tree
  （其实在数据不大的情况下vEB的优势实在难以体现）
  后附vEB & Treap代码

Code

//Treap[Merge,Split]
/*
    Treap[Merge,Split]
    by Memphis
*/

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;
#define maxn 2000005
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
#define dep(i,x,y) for(int i=x;i>=y;--i)
 
struct Treap{
    Treap *l,*r;
    int fix,key,size;
    Treap(int key_):fix(rand()),key(key_),l(NULL),r(NULL),size(1){}
     
    inline void updata(){
        size=1+(l?l->size:0)+(r?r->size:0);
    }
}*root;
typedef pair<Treap*,Treap*> Droot;//用来Split返回两个根 
 
inline int Size(Treap *x){return x?x->size:0;}//这样求size可以防止访问空指针 
 
Treap *Merge(Treap *A,Treap *B){//合并操作 
    if(!A)return B;
    if(!B)return A;
    if(A->fix<B->fix){
        A->r=Merge(A->r,B);
        A->updata();
        return A;
    }else{
        B->l=Merge(A,B->l);
        B->updata();
        return B;
    }
}
 
Droot Split(Treap *x,int k){//拆分操作 
    if(!x)return Droot(NULL,NULL);
    Droot y;
    if(Size(x->l)>=k){
        y=Split(x->l,k);
        x->l=y.second;
        x->updata();
        y.second=x;
    }else{
        y=Split(x->r,k-Size(x->l)-1);
        x->r=y.first;
        x->updata();
        y.first=x;
    }
    return y;
}
 
Treap *Build(int *a){//建造操作 
    static Treap *stack[maxn],*x,*last;
    int p=0;
    rep(i,1,a[0]){
        x=new Treap(a[i]);
        last=NULL;
        while(p && stack[p]->fix>x->fix){
            stack[p]->updata();
            last=stack[p];
            stack[p--]=NULL;
        }
        if(p) stack[p]->r=x;
        x->l=last;
        stack[++p]=x;
    }
    while(p) stack[p--]->updata();
    return stack[1];
}
 
int Findkth(int k){//查找第K小 
    Droot x=Split(root,k-1);
    Droot y=Split(x.second,1);
    Treap *ans=y.first;
    root=Merge(Merge(x.first,ans),y.second);
    return ans->key;
}
 
int Getkth(Treap *x,int v){//询问一个数是第几大 
    if(!x)return 0;
    return v<x->key?Getkth(x->l,v):Getkth(x->r,v)+Size(x->l)+1;
}
 
void Insert(int v){//插入操作 
    int k=Getkth(root,v);
    Droot x=Split(root,k);
    Treap *n=new Treap(v);
    root=Merge(Merge(x.first,n),x.second);
}
 
void Delete(int k){//删除操作 
    Droot x=Split(root,k-1);
    Droot y=Split(x.second,1);
    root=Merge(x.first,y.second);
}
 
int a[maxn],M,x,y;
 
int main(){
    freopen("bst.in","r",stdin);
    freopen("bst.out","w",stdout);
     
    scanf("%d",a);
    rep(i,1,a[0]) scanf("%d",a+i);
    sort(a+1,a+1+a[0]);
    root=Build(a);
     
    scanf("%d",&M);
    while(M--){
        char ch=getchar();
        while(ch!='Q' && ch!='A' && ch!='D') ch=getchar();
        scanf("%d",&x);
        if(ch=='Q') printf("%d\n",Findkth(x));
        if(ch=='A') Insert(x);
        if(ch=='D') Delete(x);
    }
}

//van Emde Boas tree

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 5000005
#define inf 0x7f7f7f7f
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
#define dep(i,x,y) for(int i=x;i>=y;--i)
  
int N,M,x;
  
inline int sqr(const int x){return x*x;}//平方
int power2(int x){//找到第一个大于等于x的二的整次幂
    int ans=1;
    for(;ans<x;ans<<=1);
    return ans;
}
  
struct SQRT{//二的整次幂的开根上取和开根下取
    int upper,lower;
}Sqrt[maxn];
  
/////////////////* van Emde Boas tree
  
int cluster_cnt,max_low,min_low,offset,succ_cluster,pred_cluster,first_cluster,summary_max;
  
struct vEB_tree;
vEB_tree *cluster[maxn];
  
struct vEB_tree{//以下部分解释详见《算法导论》
    int p,u,Min,Max;
    vEB_tree *summary;
      
    inline int high(int x){return x/Sqrt[u].lower;}
    inline int low(int x){return x%Sqrt[u].lower;}
    inline int index(int x,int y){return x*Sqrt[u].lower+y;}
    vEB_tree(){}
      
    vEB_tree(int n):u(n){
        p=cluster_cnt;
        if(n>2){
            cluster_cnt+=Sqrt[n].upper;
            Min=cluster_cnt-1;
            rep(i,p,Min)
                cluster[i]=new vEB_tree(Sqrt[n].lower);
            summary=new vEB_tree(Sqrt[n].upper);
        }
        Min=Max=inf;
    }
      
    int vEB_tree_Minimum(){return Min;}
    int vEB_tree_Maximum(){return Max;}
      
    bool vEB_tree_Member(int x){
        if(x==Min || x==Max) return true;
        if(u==2) return false;
        return cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Member(low(x));
    }
      
    int vEB_tree_Successor(int x){
        if(u==2){
            if(x==0 && Max==1) return 1;
            return inf;
        }
        if(Min<=N && x<Min) return Min;
        max_low=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Maximum();
        if(max_low<=N && low(x)<max_low){
            offset=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Successor(low(x));
            return index(high(x),offset);
        }
        succ_cluster=summary-> vEB_tree_Successor(high(x));
        if(succ_cluster>N) return inf;
        offset=cluster[p+succ_cluster]-> vEB_tree_Minimum();
        return index(succ_cluster,offset);
    }
      
    int vEB_tree_Predecessor(int x){
        if(u==2){
            if(x==1 && Min==0) return 0;
            return inf;
        }
        if(Max<=N && x>Max) return Max;
        min_low=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Minimum();
        if(min_low<=N && low(x)>min_low){
            offset=cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Predecessor(low(x));
            return index(high(x),offset);
        }
        pred_cluster=summary-> vEB_tree_Predecessor(high(x));
        if(pred_cluster>N){
            if(Min<=N && x>Min) return Min;
            return inf;
        }
        offset=cluster[p+pred_cluster]-> vEB_tree_Maximum();
        return index(pred_cluster,offset);
    }
      
    inline void vEB_empty_tree_Insert(int x){Min=Max=x;}
      
    void vEB_tree_Insert(int x){
        if(Min>N) vEB_empty_tree_Insert(x);
        else{
            if(x<Min) swap(x,Min);
            if(u>2){
                if(cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Minimum()>N){
                    summary-> vEB_tree_Insert(high(x));
                    cluster[p+high(x)]-> vEB_empty_tree_Insert(low(x));
                }else
                    cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Insert(low(x));
            }
            if(x>Max) Max=x;
        }
    }
      
    void vEB_tree_Delete(int x){
        if(Min==Max) Min=Max=inf;
        else{
            if(u==2){
                if(x==0) Min=1;
                else Min=0;
                Max=Min;
            }else{
                if(x==Min){
                    first_cluster=summary-> vEB_tree_Minimum();
                    x=index(first_cluster,cluster[p+first_cluster]-> vEB_tree_Minimum());
                    Min=x;
                }
                cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Delete(low(x));
                if(cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Minimum()>N){
                    summary-> vEB_tree_Delete(high(x));
                    if(x==Max){
                        summary_max=summary-> vEB_tree_Maximum();
                        if(summary_max>N) Max=Min;
                        else
                            Max=index(summary_max,cluster[p+summary_max]-> vEB_tree_Maximum());
                    }
                }else
                    if(x==Max)
                        Max=index(high(x),cluster[p+high(x)]-> vEB_tree_Maximum());
            }
        }
    }
      
}*root;
  
void Initialization(int n){//初始化
    for(int i=0;(1<<i)<=n;++i){
        Sqrt[1<<i].lower=1<<i/2;
        Sqrt[1<<i].upper=1<<i/2+i%2;
    }
  
    root=new vEB_tree(n);//构造vEB tree
}
  
int main(){
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
  
    scanf("%d",&N);
  
    Initialization(power2(N));
      
    rep(i,1,N){
        scanf("%d",&x);
        root-> vEB_tree_Insert(x-1);
    }
      
    int opt,x;
    rep(i,1,N){
        scanf("%d%d",&opt,&x);
          
        if(opt==1) root-> vEB_tree_Insert(x-1);
        if(opt==2) root-> vEB_tree_Delete(x-1);
        if(opt==3) printf("%d\n",root-> vEB_tree_Predecessor(x-1)+1);
        if(opt==4) printf("%d\n",root-> vEB_tree_Successor(x-1)+1);
    }
}

---

$$\spadesuit$$